العدد الطبيعي هو كل عدد صحيح موجب، مثل 1، 2، 3... 12، 563،

عدد طبيعي

في الرياضيات، العدد الطبيعي هو كل عدد صحيح موجب، مثل 1، 2، 3... 12، 563، ويضيف بعض العلماء الصفر إلى هذه المجموعه من الأعداد ويرمز لمجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف الإنجليزي N. و تسمح الأعداد الطبيعية بعدّ الأشياء عندما تكون بكمية منفصلة كالأصابع أو أوراق شجرة مثلا...ولكنّها لا تسمح بعدّ الكميات المتصلة كالمسافة، الحجم أو الوزن..

و هي مجموعة أعداد غير منتهية. يمثل 1 أصغرها، ويتم إنشاؤها بواسطة علاقة الترجع: كل عدد له موال وهو أيضا عدد صحيح طبيعي, 1 عدد صحيح طبيعي. وكل مجموعة مرتبة تخضع لأكسيومات بيانو تسمى مجموعة اعداد طبيعية.

ويُرمز إلى هذه المجموعة ب N أو يرمز إليها ب إذا حذفنا منها الصفر.

بعض الرياضيين لا يعتبرون الصفر كعدد صحيح طبيعي.
محتويات


1 الأعداد الطبيعية : تجريد للأشياء الحقيقية
2 الاستعمال
3 الخواص
3.1 الجمع
3.2 الضرب
4 أعداد طبيعية خاصة

الأعداد الطبيعية : تجريد للأشياء الحقيقية

تملك الأشياء والحيوانات خاصية مشتركة : في سلة ما، كلّ التفاحات منفصلة وتتشابه بعض الشيء. في قطيع غنم، تتشابه الحيوانات وهي منفصلة.

لذا ظهرت أشياء لا توجد في الحقيقة، يمكن تغيير أمكانها في ما بينها. هي أشياء لا علاقة لها بالحقيقة، لا توجد إلاّ في الخيال... لذا سنكتب "واحد 1" "اثنان 2" "ثلاثة 3"... ثلاثة ماذا؟ ثلاثة من هذه الأشياء التي اخترعناها ولا وجود لها، ثلاثة "وحدات".

و لو افترضنا أنّ أ هو عدد التفاحات وج هو عدد الأغنام، هذان العنصران يمكن التعامل معهما رياضيًّا مهما كانت الأشياء التي تمثلها.

لقد وجدنا إذا خاصية مهمّة (وهي خاصية المجموعات العدودة) ولقد اخترعنا عدادا خياليا لا يملك إلا هذه الخاصية. وهذا الشيء هو الوحدة.

هذا التمرين الفكري يُدعى التجريد. نُجرّد الشيء من صفته ليصبح كميّة فقط.
الاستعمال

كما رأينا، تستعمل لعدّ الأشياء من مجموعة منتهية.
الخواص


الجمع

صفر هو العنصر الحيادي لعملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد جمع عدد وصفر هو نفس العدد.

أ + 0 = أ

5 + 0 = 5

0 + 13 = 13

0 - 4 = - 4

الجمع عملية تبديلية في مجموعة الأعداد الطبيعية: تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة (أو الحاصل) :

أ + ب = ب + أ

3 + 5 = 5 + 3

17 + 2 = 2 + 17


الضرب

الواحد (1) هو العنصر المحايد لعملية الضرب في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد ضرب عدد وواحد هو نفس العدد.

س × 1 = س

53 × 1 = 53

1 × 3 = 3

صفر هو العنصر الماص لعملية الضرب في مجموعة الأعداد الطبيعية : النتيجة بعد ضرب عدد وصفر هي صفر.

س × 0 = 0

65 × 0 = 0

0 × 9853620 = 0

الضرب عملية تبديلية في مجموعة الأعداد الطبيعية : تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة

أ × ب = ب × أ

3 × 5 = 5 × 3

17 × 2 = 2 × 17

الضرب عملية توزيعية على الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية : ضرب عدد بحاصل عددين هي حاصل ضربه في كلا العددين :

أ × (ب + ج) = أ × ب + أ × ج

21 = 3 * 7 = 3 × (5 + 2) = 3 × 5 + 3 × 2 = 15 + 6 = 21

الضرب عملية تجميعية:


(2 × 3) × 4 = (2 × 3) × 4 (بما أن كلا التعبيرين مساويان لـ 24)


أعداد طبيعية خاصة
يتبع

أعداد طبيعية خاصة

تتميز بعض الأعداد الطبيعية ببعض الخصائص، ومنها الأعداد الأولية والأعداد التامة.
العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1, يقبل القسمة فقط على نفسه وعلى الواحد.

كأي مجموعة من مجموعات الأعداد المختلفة، تعتبر الأعداد الأولية مجموعة لا نهائية من الأرقام.

دراسة الأعداد الأولية جزء من دراسة نظرية الأعداد، حيث خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان وحدسية غولدباخ مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها.

السبب الأساسي يعود إلى عدم فهمنا لطريقة توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية.

الاعداد الأولية الأصغر من 100 هي : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.


محتويات


1 تاريخ الأعداد الأولية
2 خصائص الأعداد الأولية
3 اختبارات أولية العدد
3.1 طريقة اريتاسثونيس
3.2 اختبار فيرما
4 أرقام عالمية
5 أهمية واستخدامات الأعداد الأولية

تاريخ الأعداد الأولية

تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى معرفة قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية، مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأن الاعداد الأولية كما سنرى بعد قليل. وقام الرياضي اليوناني اريتاسثونيس بدراسة الأعداد الأولية، ومع أننا لم نجد أي مخطوطاته، فقد أشار إليها علماء آخرون.
خصائص الأعداد الأولية

جميع الأعداد الأولية - عدا 2 و 5 - تنتهي ب 1، 3، 7 أو 9 لماذا ؟

لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب (0، 2، 4، 6 أو 8) هي من مضاعفات الاثنين فليست بالتأكيد أوليّة، والأعداد التي تنتهي ب (0 أو 5) من مضاعفات الخمسة فليست أولية أيضاً.

إذا كان لدينا عددان صحيحان أ وب، ولدينا عدد ثالث ج، حيث ج عدد أولي. وكان حاصل ضرب العددين (أ × ب) يقبل القسمة على العدد ج، فإن "أ" أو "ب" يقبل القسمة على ج هذه الخاصية تعرف أيضا ً بمبرهنة إقليدس.

اختبارات أولية العدد

هناك أكثر من 15 اختبارا لمعرفة هل عدد معين أولي أم لا ومن بينها:

اختبار ليكاس - ليهمر

طريقة اريتاسثونيس

اختبار فيرما المتربط بمبرهنة فيرما الصغرى

طريقة اريتاسثونيس

تستعمل طريقة اريتاسثونيس لإيجاد الأرقام الأولية أقل من رقم معين. تقتضي هذه الطريقة بكتابة كل الأرقام الأقل من الرقم المعين (ص)، ومن ثم تعين رقم ط، ونبدأ بجعل ط=2، حاذفين كل مضاعفات ط حتى الرقم ص، ثم نجعل ط=3، ثم 4، 5، 6، الخ. نكمل هذه العملية حتى يصبح طxط أكبر من ص. كل الأرقام الباقية بعد الحذوفات هي ارقام أولية.
طريقة اريتاسثونيس
اختبار فيرما

مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عدد أولي وa عدد أولي مع p, إذن :a^{p-1}\equiv 1 \ \ (p)

عكس المبرهنة خاطئ, مثلا 561=3×11×17 ليس عدد أولي ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561, لدينا a^{560}\equiv 1 \ \ (561)

لكن يمكن مع ذلك كتابة:

إذا كان p غير أولي فإن ap − 1 متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a

الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.

برمجة التشفير PGP, تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية. إذا كان: 1\equiv 2^{x-1}\equiv 3^{x-1}\equiv 5^{x-1}\equiv 7^{x-1} \ \ (x), فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي.

إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1, في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا.
[عدل] أرقام عالمية
Crystal Clear app kdict.png مقال تفصيلي :أكبر عدد أولي

الجدول التالي يبين أكبر أعداد أولية تم تسجيلها عالميا
الترتيب العدد الأولي المراتب العشرية تاريخ السجل
1 243112609-1 12978189 2008
2 242643801-1 12837064 2009
3 237156667-1 11185272 2008
4 232582657-1 9808358 2006
أهمية واستخدامات الأعداد الأولية

تستعمل الأعداد الأولية في ميدان المعلوميات وخاصة في علم التعمية. ومن أشهر التطبيقات التي تستعمل الأعداد الأولية نجد نظام التشفير RSA. لمزيد من المعلومات راجع التشفير ومشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية.